Фамилия Одижева — редкий случай, когда написание сразу подсказывает, где искать корни. Суффикс -ев указывает на русскую модель образования, но основа фамилии явно не славянская. Скорее всего, перед нами фамилия, возникшая на стыке культур, в среде, где тюркские или кавказские имена адаптировались к русской грамматике.

Разбираем основу: Одиж-. Самое правдоподобное объяснение — от тюркского имени или прозвища Одиш (варианты: Одыш, Адыш). В тюркских языках корень «од» или «от» может означать «огонь», «пламя». Соответственно, Одиш — это «огненный», «пылкий», «горячий». Такое прозвище могли дать человеку вспыльчивого нрава, либо, наоборот, тому, кто работал с огнём — кузнецу, плавильщику. Встречается и другая версия: связь с адыгским (черкесским) именем Адыш, которое имеет значение «светлый», «ясный». Фонетически переход Адыш → Одиш вполне возможен в русской среде, где безударное «а» часто звучало как «о» (аканье).

География фамилии Одижева подсказывает, что её носители — потомки выходцев с Северного Кавказа или из Поволжья, где тюркские и кавказские имена были обычны. Фамилия не массовая, встречается точечно, что говорит о её относительно позднем закреплении — скорее всего, в XIX веке, когда крестьянам и казакам массово присваивали фамилии по имени или прозвищу главы семьи. Форма Одижева (женский род) подразумевает, что исходная мужская фамилия — Одижев.

Если сравнивать с однокоренными, то ближайшие аналоги — фамилии Одишев, Одышев, Адышев. Они встречаются чаще, и их тюркское происхождение не вызывает сомнений. Одижева могла возникнуть из-за особенностей местного произношения (замена «ш» на «ж») или из-за ошибки писаря при записи. В любом случае, перед нами фамилия, которая хранит память о прозвище предка — человека либо горячего, как огонь, либо ясного, как свет.