Фамилия Отрадинская — редкий пример фамилии, образованной не от названия населённого пункта, а от абстрактного понятия. Её основа — прилагательное «отрадный», то есть «доставляющий отраду, радость». Суффикс -ск- указывает на типично дворянскую или польскую модель образования: так могли называть помещиков, владевших усадьбой с названием Отрадное, или дать фамилию крепостным, переписанным по имени имения.

Версия с географическим корнем — самая правдоподобная. В России десятки Отрадных: от подмосковного Отрадного до села в Воронежской области. Если предки были дворянами, фамилия могла закрепиться за владельцами усадьбы «Отрада» — такие поместья часто называли в честь душевного покоя, а не по фамилии хозяина. Для крестьян же фамилия Отрадинский (или Отрадинская для женщин) возникала при переписи, когда писарь спрашивал: «Откуда?» — и слышал в ответ «из Отрадного».

Менее вероятно, но возможно, что фамилия произошла от прозвища Отрада — так могли назвать желанного, долгожданного ребёнка или человека с весёлым нравом. В говорах слово «отрада» бытовало и как ласковое обращение. Тогда суффикс -ин- (Отрадин) — это «чей?», а -ск- уже добавили позднее, подгоняя фамилию под модный дворянский образец.

Форма Отрадинская — женский вариант, но в быту фамилия не склонялась по роду: мужчины носили Отрадинский. Встречается она крайне редко, в основном в центральных и южных областях России. Если ваши предки — из бывших однодворцев, могли писаться и как Отраднинские, с двойным «н», что тоже указывает на топоним.