Фамилия Палавинка — редкий случай, когда прозвище сохранилось почти без изменений, лишь обрастая суффиксом. В её основе лежит не имя, не профессия, а конкретное действие или свойство: глагол «палавить». В южных и западных говорах русского языка (особенно в курских, орловских, брянских) «палавить» означало «медлить, мешкать, возиться без толку». Человека, который всё делал не спеша, копался, тянул время, могли прозвать Палава или Палавинка.

Суффикс -к- в данном случае не уменьшительный, а скорее прозвищный, характерный для разговорной речи. Он как бы «закреплял» за человеком его манеру поведения. Фамилия образована напрямую от прозвища без патронимического суффикса (типа -ов или -ин). Это указывает на то, что она закрепилась в крестьянской среде, где прозвища нередко становились фамилиями в той же форме, без дополнительной обработки.

Географически фамилия тяготеет к юго-западу России и, возможно, к белорусско-украинскому пограничью. В этих краях «палавиць» (бел.) или «палавити» (укр.) тоже имеет значение «медлить, копаться». Встречаются однокоренные фамилии: Палавин, Палавинский. Но форма Палавинка — более редкая и архаичная, она лучше сохранила первоначальное прозвищное звучание.

Другой, менее вероятный вариант происхождения — от диалектного слова «палава» (полова, мякина, отходы при обмолоте зерна). В этом случае прозвище могли дать человеку, который занимался веянием зерна или просто был худым, «пустым», как полова. Но эта версия слабее: для прозвищ по роду занятий чаще использовали суффиксы -ник, -арь, а не -инка. Версия с глаголом «палавить» и манерой поведения выглядит убедительнее.

Так что предки носителя фамилии Палавинка — скорее всего, крестьяне из южнорусских губерний, и прозвище им дали за неторопливость, основательность или, наоборот, за излишнюю медлительность.