Фамилия Палавская — женская форма фамилии Палавский, и её происхождение почти наверняка связано с географическим названием. В русской ономастике суффикс -ский/-цкий традиционно указывает на дворянские или шляхетские фамилии, образованные от названия поместья, города или местности. Однако носителями таких фамилий нередко становились и выходцы из духовенства (семинаристы получали фамилии по названию своего села или по церковному празднику), а также переселенцы, которых записывали по прежнему месту жительства.

Корень «Палав-» скорее всего восходит к топониму Палав или Палава. На карте можно найти несколько таких объектов: например, деревня Палав в Могилёвской области Беларуси или село Палава в Львовской области Украины. В польском языке «paława» означает «дубина» или «палица», что могло стать прозвищем крепкого, сильного человека. Но для фамилии с суффиксом -ский (а не -ов или -ин) прозвищная версия менее типична: такие фамилии редко образовывали от бытовых прозвищ в среде крестьян. Поэтому версия с названием населённого пункта выглядит убедительнее.

Менее вероятно, но возможно, что основа связана с литовским словом «palvė» (луг, поляна) — это объяснило бы бытование фамилии в белорусско-литовском пограничье. В любом случае, фамилия Палавская — не самая частая, и её носители, скорее всего, имеют корни в западных регионах бывшей Речи Посполитой: на территории современных Беларуси, Украины или восточной Польши.

Встречаемость фамилии в России невысока — она не входит даже в первую тысячу распространённых русских фамилий. Это говорит о том, что её носители — либо потомки шляхты, переселившейся в центральную Россию после разделов Польши, либо выходцы из западнорусских земель. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит поискать в метрических книгах Могилёвской, Гродненской или Волынской губерний — там шанс найти «своих» Палавских выше всего.