Фамилия Патренкин — один из тех случаев, когда сложно определить корень с ходу. Она не бросается в глаза очевидным значением, и это как раз и делает её интересной для разбора.

Первое, что бросается в глаза — суффикс -ин. В русских фамилиях он указывает на принадлежность: «чей?» — Патренкин, то есть сын или потомок человека по имени (или прозвищу) Патренка. Обычно такие фамилии образовывались от имени отца, которое в быту сокращалось или получало ласкательную форму. Например, Иван → Ивашка → Ивашкин, Пётр → Петруха → Петрухин.

Здесь основа — Патренка. Откуда она? Самая прямая версия — это производное от канонического имени Патрикей (в просторечии Патрекей). Имя Патрикей пришло на Русь из греческого (patrikios — «патриций», то есть «знатный», «благородный»). В народе его переделали в более привычное Патрекей, а от него пошли уменьшительные формы: Патря, Патруня, Патреня. Патреня → Патренка (как Ваня → Ванька, Петя → Петька). Так что Патренкин — буквально «сын Патреньки», то есть потомок Патрикея.

Вторая версия, более редкая, но не менее правдоподобная, — связь с глаголом патрушить (или патрить). В некоторых северных и уральских говорах «патрушить» означало «трясти, вытряхивать, чистить». Человек, который «патрушил», мог получить прозвище Патруша или Патреня. Но эта версия менее вероятна, потому что фамилия с суффиксом -ин обычно цепляется за имя, а не за глагольное прозвище напрямую.

Географически фамилия Патренкин встречается нечасто. Основные очаги — Центральная Россия и Поволжье, особенно Нижегородская и Костромская области. Там имя Патрикей было в ходу у крестьян, и фамилия могла закрепиться без влияния знатного рода (Патрикеевы были известны среди бояр, а Патренкины — это народный, «простой» вариант).

Таким образом, ваш предок, скорее всего, был Патреней — так в быту звали человека по имени Патрикей. Фамилия не дворянская, не купеческая, а крестьянская или мещанская, что типично для фамилий на -ин от уменьшительных форм.