Фамилия Певунчиков образована от прозвища или нецерковного имени Певунчик. Основа здесь — глагол «петь» и суффикс -ун, который в русском языке часто указывает на деятеля, склонного к действию (ср. говорун, крикун, летун). Певун — это певец, человек, который поёт, причём слово несло оттенок не столько профессионализма, сколько природной склонности или любви к пению. Уменьшительный суффикс -чик добавляет ласкательный или даже слегка ироничный оттенок: Певунчик — это «маленький певец», «певец-любитель» или «тот, кто постоянно напевает».

Модель образования фамилии типична для русского севера и центральных губерний: сначала появилось прозвище Певунчик, затем от него образовалось притяжательное прилагательное «Певунчиков сын» или «Певунчиков человек», которое со временем закрепилось как фамилия. Суффикс -ов указывает на принадлежность, то есть Певунчиков буквально означает «сын Певунчика». В этом плане фамилия стоит в одном ряду с Голубчиков, Соловейчиков, Плясунчиков — все они образованы от прозвищ, связанных с пением или весёлым нравом.

Интересная деталь: в отличие от фамилий на -ев и -ин, которые более распространены, суффикс -ов здесь не редкость, но само прозвище Певунчик встречается нечасто. В словарях древнерусских имён и прозвищ (например, в работе С. Б. Веселовского) подобные формы фиксируются, но именно с уменьшительным суффиксом — скорее исключение, чем правило. Это позволяет предположить, что предок носителя фамилии был не просто певцом, а человеком, которого в округе выделяли за его постоянную, возможно, даже назойливую, привычку петь.

Географически фамилия Певунчиков встречается в основном в центральной России и Поволжье, но не имеет ярко выраженной локальной привязки. Сословно носители этой фамилии чаще всего были крестьянами или мещанами — прозвища, данные по личным качествам, а не по профессии, характерны именно для непривилегированных слоёв. В дворянских родах такие фамилии почти не встречаются, так как там преобладали фамилии от имён или географических названий.

Итог простой: Певунчиков — это «сын того, кого звали Певунчиком», а сам Певунчик — человек, который любил и умел петь, возможно, в хоре или просто для души. Никакой тайны или сложной этимологии: фамилия прозрачна, как народная песня.