Фамилия Пискура — редкий случай, когда основа сохранила почти без изменений то самое слово, от которого её образовали. В отличие от тысяч фамилий на -ов или -ин, где исходное прозвище спрятано за суффиксом, здесь прозвище и есть фамилия. А прозвище это — «пискур» или «пискура».

Сразу снимаем главный вопрос: к рыбе пикше отношения нет. Основа — глагол «пискать» (пищать). В русских говорах «пискурой» или «пискуньей» называли плаксивого, капризного человека, чаще ребёнка или женщину. Но был и другой, вполне взрослый смысл: в диалектах «пискур» — тот, кто говорит тонким, высоким, «писклявым» голосом, а также прозвище музыканта, играющего на дудке, свирели или гудке. Такое могли дать пастуху, скомороху или просто любителю посвистеть. Параллель с фамилиями Пискунов, Пискарёв, Пищалов — прямая; все они от одного корня, но Пискура сохранила более архаичную, «живую» форму без суффикса.

Географически фамилия тяготеет к западу и югу России: встречается в Брянской, Смоленской, Курской областях, а также на Украине (Піскура). Это зона, где украинское и белорусское влияние сильнее, а там суффикс -ур(а) продуктивен: он придаёт слову оттенок пренебрежения или шутливости (ср. «мазура» — плакса, «ханура» — нытик). Так что Пискура — не просто «пискун», а «этакий пискун», с лёгкой насмешкой.

Вариант написания с одной «с» (Пискура, а не Пискурра) — нормальный для русской графики; двойная «с» была бы в заимствованиях. В документах XVII–XVIII веков фамилия могла писаться и как «Пискур», и как «Пискура», пока не закрепилась в форме женского рода склонения (как Сковорода, Голова). Сословной привязки нет: прозвище встречалось и у крестьян, и у однодворцев, и у казаков. Никаких дворянских родов с этой фамилией не известно — она осталась народной, без гербов и родословных росписей.

Итог прост: предки носителя фамилии Пискура, скорее всего, были людьми с заметной речевой или музыкальной особенностью — либо плаксивыми, либо любителями посвистеть-подудеть. Фамилия не потеряла связи с живым говором, и в этом её ценность для историка языка.