Фамилия Побигун — редкий случай, когда прозвище не обросло типовыми суффиксами, а застыло в первоначальной глагольной форме. В ней нет окончания -ов или -ин, которые обычно превращают прозвище в притяжательное прилагательное («чей?» — Побигунов). Здесь мы видим чистую основу повелительного наклонения или имени деятеля: «побигун» — тот, кто побигает, то есть любит побегать, быстро передвигается, непоседа. В говорах «побигать» означало «побегать недолго, поспешно», а суффикс -ун характерен для прозвищ по действию (крикун, бегун, ворчун). Так что основа фамилии — человек подвижный, суетливый или, возможно, скорый на ногу гонец.

Вторая версия, менее очевидная, но допустимая: связь с украинским или польским «побиг» — «побег, бегство». В таком случае Побигун мог быть беглецом, человеком, который «побиг» (убежал) от чего-то — от службы, от долгов, от крепостной зависимости. Такие прозвища давали беглым крестьянам или казакам, ушедшим на вольные земли. Однако форма на -ун скорее указывает на постоянное свойство характера, а не на единичный поступок, поэтому версия с «непоседой» выглядит предпочтительнее.

Географически фамилия тяготеет к западнорусским и украинским областям. Встречается она редко, и это объяснимо: прозвища в чистой глагольной форме (без суффиксов фамильного типа) чаще всего оставались на уровне деревенских кличек и не попадали в официальные документы. Если Побигун всё же закрепился как фамилия, значит, прозвище было очень ярким или его носитель был заметной фигурой — например, бойкий работник, скороход или даже разбойник, известный своей резвостью.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Бегун, Бегунов, Побегунов — показывает, что Побигун стоит особняком. В них суффикс -ов(-ев) «присваивает» прозвище потомкам («чей сын?» — Бегунов), а Побигун остался в исходной форме, как Плакса, Молчун или Гуляй. Это говорит о том, что фамилия, скорее всего, оформилась в среде, где фамильная модель ещё не устоялась, или в семье, где прозвище отца стало фамилией напрямую, без изменения.

В социальном плане Побигун — фамилия крестьянская или казачья. Дворянские роды с таким корнем неизвестны. В документах XVIII–XIX веков её носители могли значиться как однодворцы или государственные крестьяне южных губерний — там, где ценилась расторопность и подвижность.