Фамилия Побигай звучит как команда или просьба, и это не случайно. Она образована от глагольной формы повелительного наклонения — «побигай», то есть «побегай немного». Перед нами типичный пример «искусственной» фамилии, которую в XVIII–XIX веках могли дать в семинарии или крестьянской общине. В среде духовенства такие фамилии-императивы (Утешай, Терпигорев, Образцов) давали как назидание или характеристику поведения. Но Побигай, скорее всего, пошло от мирского прозвища — так могли назвать непоседливого, вертлявого человека, который не стоит на месте. Суффикса, который бы оформлял фамилию как притяжательную (-ов, -ин), здесь нет: она застыла в форме глагола, что для русских фамилий редкость, но встречается, особенно в украинской и южнорусской традиции (примеры: Нечай, Держикрай, Перебейнос).

Если присмотреться к корню, «бег» здесь очевиден, но приставка «по-» вносит оттенок кратковременного или несерьёзного действия. В украинском языке «побігай» означает то же самое, и фамилия может иметь украинские корни — в Украине и на юге России такие глагольные фамилии встречаются чаще. В словаре Б. Унбегауна этот тип описан как «фамилии из повелительного наклонения», и Побигай стоит в одном ряду с Гуляй, Скачи, Лови. Географически фамилия редкая, встречается точечно в Воронежской, Ростовской областях, на Кубани и в центральной Украине.

Спорных версий немного: иногда пытаются вывести Побигай от дохристианского имени Побиг (по аналогии с Побег или Победа), но это натяжка — ни в одном ономастиконе такого имени нет. Правдоподобнее всего прозвище: предок был подвижным, суетливым, или же ему в шутку говорили «ну ты и побигай», когда он куда-то спешил. Сословной привязки нет — фамилия могла закрепиться и у крестьян, и у казаков. В написании путаницы почти не бывает, хотя изредка встречается вариант Побигайло (с суффиксом, типичным для украинских прозвищ).