Фамилия «Поьигун» — редкий случай, когда написание подсказывает произношение, а не наоборот. В ней сразу бросается в глаза буква «ь» в середине: «Поьигун». Это не опечатка и не искусственное искажение. Перед нами, скорее всего, фиксация живого говора, где после мягкого согласного звука [п’] следует йотированный гласный. В современной орфографии это выглядело бы как «Поигун», но в старых документах, метрических книгах или при записи со слов писарь мог передать мягкость через «ь», а затем записать «и» как «ьи» — такой способ встречается в рукописных источниках XIX века, особенно в северных и центральных губерниях.

Основа фамилии — прозвище или неканоническое имя Поигун. Оно образовано по продуктивной модели с суффиксом -ун-, который в русском языке давал названия лицам по характерному действию или свойству: бегун, крикун, молчун. Глагол «поиграть» (в значении «играть немного», «забавляться») дал бы форму поигун, то есть «тот, кто любит поиграть, повеселиться, несерьёзный человек». В отличие от фамилии Игун (от Игнат), здесь корень именно игр-/иг-, а не Игн-.

Важный нюанс: в ономастике известна фамилия Пойгун (с «й» после «о»), которая могла возникнуть от того же корня, но через диалектное «пойграть» (с вставным «й»). «Поьигун» — это, возможно, то же самое слово, но записанное «по слуху» с мягкостью. Географически такие формы тяготеют к южновеликорусским говорам (Рязанская, Тамбовская, Воронежская области), где «ять» и мягкие согласные перед гласными произносились отчётливо.

Других версий происхождения — от тюркских или финно-угорских корней — для «Поьигун» нет. Фамилия чисто русская по словообразованию, но очень редкая. В современных базах данных она почти не встречается, что говорит либо о её угасании, либо о том, что носители сменили написание на более привычное «Поигун». Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка происходил из крестьянской или мещанской среды, а его прозвище могло закрепиться за шаловливым, живым человеком — «поигуном».