Фамилия Подерни — редкая и на слух воспринимается как команда: «подерни!». Но на самом деле это не повелительное наклонение глагола, а форма родительного падежа множественного числа от прозвища Подерня. В русских говорах «подерня» означала нечто ветхое, рваное, плохонькое — то, что едва держится. Так могли назвать неряшливого человека, бедно одетого, или, наоборот, скупого, кто донашивал вещи до дыр. Есть и другая версия: в некоторых диалектах «подерня» — это драка, потасовка, и прозвище давали задире или забияке.

Словообразовательная модель здесь нетипична для русских фамилий. Обычно фамилии на -и/-ых (Подерних, Подерных) закреплялись в северных и центральных губерниях, но Подерни — это форма именно родительного падежа, которая застыла в качестве фамилии. Встречается она почти исключительно на юге России и в восточных областях Украины, где подобные конструкции (Коваль — Ковали, Подерня — Подерни) воспринимались как указание на род: «из семьи Подерней». То есть предок носителя фамилии — человек по прозвищу Подерня.

Интересно, что фамилия сохранила архаичное ударение на последний слог: Подерни́, а не По́дерни. Это дополнительно указывает на её южнорусское происхождение. Однокоренных фамилий в русском языке почти нет — можно вспомнить разве что Подерягин или Подерюгин, но они образованы от других основ. Встречаемость фамилии крайне низкая: по открытым данным переписей, носителей Подерни в России — несколько десятков человек, в основном в Ростовской и Волгоградской областях.

Так что если ваша фамилия Подерни, скорее всего, предки жили на юге, а родоначальник получил прозвище либо за неопрятный вид, либо за драчливый нрав. Никакого отношения к глаголу «дернуть» она не имеет.