Фамилия Погосбекова — редкий случай, где в одной основе встретились армянское имя и тюркский титул. Это женская форма фамилии Погосбеков, и разобрать её стоит, начав с конца, с суффикса и модели образования.

Суффикс -ов (в женском роде -ова) указывает на русскую модель патронимической фамилии: «чей?» — Погосбеков. Но основа Погосбек — сложная, двухкорневая. Первая часть, Погос, — это армянская форма имени Павел (через греческого Павла и армянского Погоса). В армянском именослове это одно из самых распространённых христианских имён. Вторая часть, бек, — тюркский титул, означающий «господин», «князь», «предводитель». В Закавказье, особенно в армянской и грузинской среде, этот титул нередко добавляли к имени, обозначая знатное происхождение или уважение.

Таким образом, исходное личное имя Погосбек буквально означает «Погос-господин» или «князь Погос». Это составное имя — характерный признак культурного пограничья: армянское христианское имя соединилось с тюркским социальным маркером, что часто встречалось в армяно-татарских (азербайджанских) семьях в XIX веке, особенно среди купечества и духовенства.

Откуда пошла фамилия? Скорее всего, от предка, которого звали Погосбек. Фамилии на -ов/-ев начали массово закрепляться у армян после вхождения Восточной Армении в состав Российской империи, особенно в ходе переписей и паспортизации в XIX веке. Если бы предок жил в Западной Армении (под османской властью), фамилия могла бы иметь окончание -ян (Погосбекян). Форма -ов выдает либо русификацию при переезде, либо принадлежность к тем армянским родам, которые рано интегрировались в российскую систему.

География фамилии сегодня — это преимущественно юг России (Ставропольский, Краснодарский края, Ростовская область) и страны Закавказья. Встречаемость крайне низкая, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска: скорее всего, все носители — потомки одной семьи или нескольких родственных ветвей.

Если коротко: фамилия Погосбекова означает «потомок (или жена) Погосбека», где Погос — армянский Павел, а бек — тюркский титул. Предки были армянами, вероятно, из состоятельного или уважаемого сословия, жившими в зоне армяно-тюркского культурного контакта.