Фамилия Полебезьева — редкая и неочевидная. Если разбирать её на слух, первая часть «Поле-» наталкивает на мысль о поле, равнине или, возможно, о фамилии Полевой. Однако вторая часть «-безьев» резко меняет картину. Скорее всего, перед нами не географическая, а прозвищная фамилия, образованная из двух слов.

Наиболее правдоподобная версия: основа «полебез» восходит к глагольной форме «полебезить» или существительному «лебеза». В старых русских говорах «лебеза» — это льстец, подхалим, угодник, тот, кто «лебезит», то есть заискивает, юлит, втирается в доверие. Приставка «по-» в таком случае могла означать «тот, кто занимается этим делом» или давать оттенок однократности действия («полебезить» — немного польстить). Таким образом, Полебез — прозвище человека, склонного к лести, или того, кого так дразнили в насмешку. Суффикс -ев- указывает на принадлежность: Полебезьева — дочь или жена Полебезя.

Менее вероятна, но возможна версия от диалектного слова «безья» (обезьяна) с приставкой «по-» — то есть «похожий на обезьяну», кривляка. Но это скорее народная этимология: корень «лебез-» в значении «льстить» гораздо устойчивее в русской антропонимике (сравните фамилии Лебезев, Лебезкин).

Фамилия явно недворянская, не от имени святого и не от названия поместья. Она из разряда «мирских» прозвищ, которые давали в крестьянской или посадской среде. Географически такие фамилии чаще встречаются в центральных и северных губерниях России, где были живы диалектные слова, но точных данных о гнезде Полебезьевых нет — фамилия настолько редкая, что не попала в массовые списки.

По модели образования она сходна с фамилиями Полежаев (от «полежать»), Полегаев (от «полегать»). Суффикс -ев, а не -ов, говорит о том, что основа оканчивалась на мягкий согласный или шипящий (Полебезев, а не Полебезов). В женском роде фамилия склоняется как прилагательное: Полебезьева, Полебезьевой.

Коротко: ваш предок, скорее всего, получил прозвище за манеру льстить или угодничать. Ничего обидного — в деревенской среде такие прозвища давали без злобы, часто с иронией, и они закреплялись в роду на века.