Фамилия Полинськый — редкий случай, когда написание сразу выдаёт регион происхождения. Форма на -ськый, а не на -ский, указывает на украинскую или польскую фонетическую передачу. В русском языке суффикс давно адаптировался как -ский, поэтому вариант Полинськый — либо результат поздней записи фамилии по живому произношению, либо сознательное сохранение диалектной черты.

Основа фамилии — Полин. Здесь возможны два пути. Первый: от имени Полина — женского имени, которое в некоторых говорах могло стать прозвищем мужчины (например, «Полинин муж» или «сын Полины»). Второй, более вероятный: от топонима. На Украине и в Польше есть несколько сёл с названием Полин (Полинне, Полини). Фамилии на -ськый традиционно давали тем, кто владел землёй или происходил из такого села — то есть указывали на место жительства или владения. В польской традиции суффикс -ski был дворянским маркером, но на восточных землях Речи Посполитой, особенно среди украинского населения, он закрепился за крестьянами и мещанами, просто как указание на «человека из Полина».

Интересно, что фамилия Полинськый почти не встречается в современной России. Основной ареал — Западная Украина (Волынь, Ровенская область) и восточные воеводства Польши. Если ваши предки носили именно такую форму, скорее всего, они были выходцами из этих регионов, и фамилия зафиксировала их географическое происхождение, а не род занятий или личное качество. Написание с мягким знаком («ськый») — не ошибка, а живой след украинской орфоэпии, которая в XIX веке ещё не была унифицирована.