Фамилия Попивщая — редкий случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, сохранив свою глагольную форму. В основе лежит украинское или южнорусское «попивщий» — тот, кто попил, то есть выпил (чаще всего алкоголь). Суффикс -щ- здесь указывает на действующее лицо, как в словах «трудящийся» или «поющий». Фамилия не получила типичных родовых окончаний (-ов, -ин, -ский), поэтому в современном виде она склоняется как прилагательное: Попивщая, Попивщей, Попивщую.

Вероятнее всего, фамилия закрепилась за человеком, которого в округе знали по привычке выпить лишнего или по случаю, когда он «попил» на виду у всех. Не стоит сразу думать об алкоголизме: в крестьянской среде прозвища часто давали за единичный забавный случай — например, мужик выпил за чужой счет больше всех на свадьбе, и его прозвали Попивщий. Со временем это стало фамилией его потомков.

Географически фамилия тяготеет к западным и южным регионам бывшей Российской империи — Украине, Белоруссии, югу России. В центральных и северных великорусских губерниях такая форма без суффикса -ов практически не встречалась: там сказали бы «Попивщиков» или «Попивщиковский». Встречается вариант написания через «я» — Попивщая, что указывает на женскую форму фамилии в документах. Если мужчина носит такую фамилию, она будет звучать как Попивщий.

Сравните с однокоренными фамилиями: Попивкин (от «попивка» — выпивка), Попивко (украинская модель), Попивщиков. Все они восходят к одному корню, но Попивщая — самая прямая и краткая форма, без дополнительных суффиксов-наслоений. Это говорит о том, что фамилия могла оформиться поздно, уже в XIX веке, когда паспортные записи фиксировали прозвище почти дословно.

Дворянского происхождения у фамилии нет. Носители — скорее всего, крестьяне или мещане. В дореволюционных переписях такие фамилии встречаются единично, что подтверждает их локальный, почти семейный характер.