Фамилия Попив — редкий пример, где основа совпадает с глаголом в повелительном наклонении. В русских фамилиях такие формы встречаются нечасто, но они есть: Держи, Стучи, Непейвода. Попив — буквально «попей», побуждение к действию. Скорее всего, фамилия закрепилась за человеком, которого в быту окликали этим словом — либо в шутку, либо по привычке.

Происхождение прозвища может быть двояким. Первая версия: прозвище Попив дали человеку, который любил выпить, — «попивающий», «попейка». Вторая, менее очевидная: прозвище могло возникнуть в ситуации, когда кто-то постоянно угощал или предлагал выпить, то есть был хлебосольным хозяином. В любом случае, основа — глагол «пить» с приставкой «по-», означающей неполноту или начало действия.

Фамилия образована без суффикса, по так называемой «чистой» модели: прозвище стало фамилией как есть. Это характерно для украинской и южнорусской традиции, где фамилии на -ив, -ов, -ев нередко усекались. Однако в случае Попив суффикс не отпал, а изначально отсутствовал — перед нами застывшая глагольная форма.

Географически фамилия тяготеет к западнорусским и украинским землям, где такие «глагольные» фамилии встречаются чаще. В переписях XIX века Попив могла писаться как Попивъ, а в советское время окончание закрепилось без «ер». Однокоренные фамилии — Попейко, Попивайло, Попивкин — показывают, что модель была продуктивной, но именно Попив осталась самой краткой.

Носителей фамилии мало, и она не входит в число распространённых. В современных справочниках её часто путают с фамилией Попов, но это разные корни: Попов — от слова «поп», а Попив — от глагола. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они жили в среде, где прозвища давали по поведению или привычкам, а не по профессии.