Фамилия Потоскаев — редкая и неочевидная с точки зрения корня. Если снять типичный русский патронимический суффикс -ев (указывающий на «сына» или «потомка»), остаётся основа Потоскай. Именно её и нужно разбирать.

Самое правдоподобное объяснение — тюркское происхождение. В тюркских языках есть слово «тоскай» или «тоска» (в разных диалектах), означающее «безлесная равнина», «степь», «открытое место». Приставка «по-» в русской передаче тюркских фамилий нередко появлялась как адаптация местного аффикса или как часть сложного имени. Таким образом, Потоскай могло быть прозвищем или географическим указанием — «тот, кто с равнины», «степняк». В пользу этой версии говорит и типичная для южнорусских и поволжских регионов модель: фамилии на -аев, -еев часто возникали из тюркских прозвищ (сравните Батаев, Каратаев).

Менее вероятна, но возможна связь с глаголом «потоскать» — в русских говорах это означало «покачать», «поколыхать» (например, ребёнка). Тогда Потоскаев — «сын того, кто качал, нянчил». Но эта версия слабее: глагол редкий, а прозвище «Потоскай» для взрослого мужчины звучит неестественно.

Географически фамилия встречается в Башкортостане, Оренбургской области и Татарстане. Это подтверждает тюркскую версию: в этих краях смешение русского и башкирского/татарского населения давало подобные словообразовательные гибриды.

Социальный статус предка Потоскаева, скорее всего, был крестьянским или казачьим. Фамилия недворянская, не искусственная (семинарская или приписная), а бытовая — её дали по уличному прозвищу, которое закрепилось в документах при переписях XVIII–XIX веков.

Однокоренных фамилий в русском языке практически нет, что делает Потоскаева ономастическим уникумом. Если искать аналоги, то только среди тюркских фамилий с основой на «тоскай» — например, Тоскаев (встречается у башкир и татар).