Фамилия Рашинская — женская форма, но разговор о ней всегда начинают с мужского варианта Рашинский. Эта фамилия принадлежит к распространённому типу польских, украинских и белорусских фамилий на -ский/-цкий, которые в старину носили в основном шляхта и духовенство, а позже — крестьяне, получившие фамилию при переписях.

Корень фамилии — Раш-. Самый очевидный вариант: основа от географического названия. В Польше и на западе Украины есть несколько сёл с названием Рашин (например, Рашин под Варшавой, известный битвой 1809 года). Житель такого села получал прозвище Рашинский — «тот, кто из Рашина». В этом случае фамилия Рашинская означает «уроженка или жена человека из Рашина».

Вторая версия, менее вероятная, но тоже возможная: корень от личного имени. В старых русских и украинских документах встречается уменьшительное имя Раша (от Ираклий, Герасим или даже Рафаил). От него могли образовать фамилию Рашин через притяжательный суффикс -ин, а затем добавить «дворянский» суффикс -ский. Получается цепочка: Раша → Рашин → Рашинский. Такое «наращивание» суффикса встречалось у духовенства: семинаристы нередко «облагорождали» простые крестьянские фамилии.

Суффикс -ск- указывает на то, что фамилия сформировалась не в центральной России, а скорее на западе или юго-западе — в Речи Посполитой, на Волыни, Подолье или в Галиции. После разделов Польши многие носители таких фамилий оказались в Российской империи, и их стали записывать на русский лад.

Любопытная деталь: в некоторых говорах «раш» могло быть искажением слова «рожь» или «рашпиль» (инструмент), но эти версии слабые — маловероятно, чтобы прозвище по инструменту дало фамилию на -ский. Так что географическая версия остаётся основной.

Если ваши предки носили фамилию Рашинская, скорее всего, они происходят из западных губерний Российской империи — Волынской, Подольской, Киевской или из Царства Польского. Встретить эту фамилию в чисто русских северных или сибирских регионах до XX века было маловероятно.