Фамилия Рашук звучит на слух как украинская или белорусская, и это подтверждается словообразованием. Её основа — личное имя или прозвище Раш, а суффикс -ук (-чук) в украинской и белорусской традиции означает «сын» или «потомок». То есть Рашук — это буквально «сын Раша» или «маленький Раш». Такая модель чрезвычайно типична для западнорусских земель: ср. Бондарчук, Ковальчук, Таращук.

Куда сложнее с самим корнем «Раш». В русских и украинских говорах слово «раш» не зафиксировано как нарицательное, поэтому почти наверняка это сокращённая форма от полного крестильного имени. Самое вероятное — Ераш, народная форма канонического имени Иерофей (от греч. «священный»). В быту Ераш легко ужималось до Раш, а от него уже пошли Рашук, Рашкевич, Рашковский. Менее вероятная, но возможная версия — связь с польским rasz (рысь) или с глаголом «рашить» (в диалектах — «быстро делать», «торопиться»), но эти гипотезы слабее, так как не дают массовой географии.

Географически фамилия Рашук распространена прежде всего на западе Украины — в Волынской, Ровенской, Житомирской областях, а также в юго-западной Беларуси (Брестчина). В России встречается редко, в основном как результат миграций XX века. По сословной принадлежности предки Рашуков — скорее всего, крестьяне или мещане, потому что суффикс -ук в среде простого люда был самым ходовым; шляхта и духовенство предпочитали -ский/-цкий.

Если ваш предок носил фамилию Рашук, он с высокой вероятностью происходил из семьи, где отца звали Ерашом (Иерофеем). Фамилия недвусмысленно указывает на регион происхождения — историческую Волынь или Полесье, и на то, что род был православным (католики чаще использовали польские модели на -ович).