Фамилия Ринкун звучит нехарактерно для русского уха, и это первая подсказка. В русской ономастике нет суффикса -ун, который образовывал бы фамилию от славянского корня: обычные модели — Ринков, Ринкин, Ринковский. Отсутствие окончания и конечное -н прямо указывают на иноязычное происхождение. Скорее всего, перед нами латышская или литовская фамилия, попавшая в русский обиход в неизменённом виде. В прибалтийских языках фамилии на -унс, -унас или просто на -ун не редкость, и при переходе в русскую среду их часто не русифицировали — оставляли как есть.

Вероятная основа — латышское слово rīkums, которое переводится как «порядок», «распорядок», или глагол rīkot — «распоряжаться», «устраивать». В таком случае Ринкун могло быть прозвищем человека, который следил за порядком, управлял хозяйством или был распорядителем на сельских работах. В литовском языке есть близкое слово rinkti — «собирать», откуда могла возникнуть фамилия Rinkūnas. Тогда значение смещается к «сборщику» — налогов, урожая или чего-то ещё. Оба варианта правдоподобны, но латышская версия с rīkums кажется более прямой, так как фамилия записана без литовского окончания -ас.

Географически фамилия Ринкун встречается в основном на северо-западе России — в Ленинградской, Псковской областях и в Карелии. Это зона исторического расселения латышей и ливов, а также районы, где в XIX веке оседали латышские крестьяне, переселявшиеся из Курляндии и Лифляндии. Многие из них получали фамилии по роду занятий или по особенностям характера, и Ринкун — один из таких примеров. Социально носители фамилии относились к крестьянскому сословию, реже — к мещанам; дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

В написании возможны путаницы: иногда фамилию записывают как Ринкунс, пытаясь «дотянуть» до латышского оригинала, или, наоборот, сокращают до Ринкун. В дореволюционных метрических книгах можно встретить вариант Ринкунъ. Вне Прибалтики и северо-запада России фамилия почти не встречается, что делает её редкой и локально привязанной. Если ваш предок носил фамилию Ринкун, он с высокой вероятностью был латышом или литовцем, переехавшим в русские губернии в конце XIX века.