Фамилия Рынкун — редкая и с точки зрения привычной русской модели сложная. Она не укладывается в стандартные патронимические суффиксы (-ов, -ев, -ин, -ский), что сразу указывает на её позднее происхождение или иноязычную основу. В русской среде фамилии без суффикса, оканчивающиеся на согласный, часто давали людям нерусского происхождения, либо это были искусственные фамилии, закреплённые в духовных училищах или при переписи.

Скорее всего, основа «Рынкун» — это транслитерация или адаптация западного или южнославянского слова. Наиболее правдоподобная версия связывает её с глаголом «рынкать» или «рынкуть» — в польском, украинском и белорусском диалектах это значит «бросать», «кидать», иногда «толкать». В таком случае Рынкун — это прозвище человека с резкими, порывистыми движениями, либо того, кто работал с метанием (например, косарь, метатель сена). Менее вероятна, но возможна связь с румынским «râncă» (хрип, сипение) — прозвище могло закрепиться за человеком с хриплым голосом, но эта версия требует подтверждения географией.

Географически фамилия Рынкун встречается в основном на западе России, в Брянской и Смоленской областях, а также в Беларуси и на Украине — именно там сильны польские и балто-славянские языковые влияния. Это косвенно подтверждает версию о диалектном глаголе. Социально носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами, а не дворянами — фамилия не имеет признаков аристократического «-ский» или «-вич».

Если отбросить сомнительные гипотезы (например, о связи с тюркским «рынк» — рынок), то остаётся одна рабочая версия: прозвище по действию. Предок Рынкун был, вероятно, человеком живого, порывистого нрава или занимался работой, где нужно было «рынкать» — бросать, подкидывать. Других общепризнанных трактовок в научной ономастике на сегодня нет.