Фамилия Рудягина — женская форма фамилии Рудягин, а та, в свою очередь, образована от прозвища или имени Рудяга. В основе лежит корень «руд-», который в древнерусском языке имел два основных значения. Первое — «руда» в смысле «кровь» (отсюда «рудый» — красный, рыжий, русый). Второе — «руда» как полезное ископаемое, то есть человек, связанный с добычей или обработкой металла.

Скорее всего, прозвище Рудяга дали человеку с рыжими или ярко-рыжими волосами. В славянской антропонимии цвет волос — один из самых частых признаков для прозвища (сравните: Рыжов, Белов, Чернов). Суффикс «-яг-» в имени Рудяга — уменьшительно-ласкательный или пренебрежительный, характерный для диалектной речи. Он мог означать «маленький рыжий» или просто «рыжий человек». Такая модель словообразования типична для северных и сибирских говоров, где фамилии на «-ягин» встречаются чаще, чем в центральной России.

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от слова «руда» в значении «металл». В этом случае Рудягой могли назвать рудокопа, плавильщика или кузнеца. Однако такая трактовка менее популярна среди ономастов: прозвища по ремеслу обычно образовывались через суффиксы «-ник» (Рудник) или «-арь» (Рударь), а «Рудяга» звучит именно как характеристика внешности.

Фамилия Рудягин (и Рудягина) — относительно редкая. Её география тяготеет к Вологодской, Архангельской областям и Пермскому краю, что подтверждает севернорусское происхождение. Встречаются также варианты написания с одной «г» (Рудягин) — это не ошибка, а следствие местного произношения, где суффикс мог редуцироваться.

Таким образом, если ваша фамилия Рудягина, её основатель почти наверняка был рыжеволосым человеком, жившим на Русском Севере. Имя Рудяга, от которого она пошла, — яркий пример того, как бытовая черта внешности закреплялась в прозвище, а затем становилась фамильным знаком на поколения.