Фамилия Румша звучит необычно для русского уха и сразу привлекает внимание своим финальным -ша. Это не случайность: такая модель образования фамилий типична для белорусской и украинской ономастики. Суффикс -ша часто присоединялся к личным именам или прозвищам, придавая им уменьшительно-ласкательный или уничижительный оттенок. В русской традиции подобные формы встречаются реже, поэтому географию фамилии стоит искать прежде всего на западе и юго-западе бывшей Российской империи.

Основа Рум- восходит к имени Роман. В диалектах восточнославянских языков имя Роман нередко звучало как Румян, а в бытовой речи сокращалось до Рум. Отсюда и пошли производные прозвища: Рума, Румша — то есть «маленький Роман» или «Роман, которого мы зовём коротко». Такая модель образования без патронимического суффикса -ов/-ев или -ин характерна для прозвищ, которые закреплялись за человеком напрямую, без указания на отца. То есть носитель фамилии Румша, скорее всего, потомок человека по прозвищу Румша — младшего или невысокого Романа.

Существует и другая, менее вероятная версия, связывающая Румшу с литовскими корнями. В литовском языке есть слово rumšas (смуглый, темноватый). Учитывая историческое соседство балтских и славянских народов на территории современной Беларуси и Литвы, такое заимствование прозвища вполне возможно. Однако имя Роман было настолько распространено, что объяснение через антропоним выглядит более простым и надёжным.

Фамилия не относится к числу дворянских или старых московских. Её носители — в основном крестьяне и мещане, выходцы из белорусских и украинских губерний. Встречается она и сегодня: по данным открытых источников, Румши живут не только в Беларуси и на Украине, но и в западных областях России, куда переселялись в ходе миграций XIX–XX веков.