Фамилия Ремша — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет типичного русского суффикса -ов или -ин, что сразу указывает: перед нами не стандартная «патронимическая» фамилия, образованная от имени отца. Скорее всего, это прозвищная фамилия, застывшая в краткой форме.

Корень «ремш-» встречается в русских говорах. В словаре Владимира Даля зафиксирован глагол «ремшить» — «чинить, латать, платить» (особенно о починке одежды или обуви). Соответственно, Ремша — это прозвище мастера, который занимался починкой, ремонтом. Человек, которого в деревне прозвали Ремшой, мог быть сапожником, портным или просто умельцем на все руки, к кому шли с «ремонтом». Окончание -ша в прозвищах характерно для северных и сибирских говоров: ср. Молчаша, Гуляша, Плакша. Это не уменьшительно-ласкательная форма, а скорее прозвищный суффикс, придающий слову бытовую, простонародную окраску.

Есть и вторая, менее вероятная версия. Фамилия могла быть образована от краткой формы имени Еремей (в просторечии Ерема, Еремша). В этом случае Ремша — результат усечения начального гласного: Еремша → Ремша. Подобное «съедание» первого звука встречается в фамилиях (например, Лазарев от Елизар). Однако против этой версии говорит то, что форма Еремша сама по себе редка, а фамилий, образованных напрямую от неё, почти нет.

Географически фамилия Ремша встречается точечно — преимущественно в Архангельской и Вологодской областях, а также в Сибири, куда переселенцы с Русского Севера приносили свои говоры и прозвища. Это подтверждает первую версию: суффикс -ша и слово «ремшить» — северные черты.

Таким образом, предок носителя фамилии Ремша, скорее всего, был ремесленником-ремонтником: портным, сапожником или просто человеком, которого в округе знали как «того, кто всё латает». Фамилия не дворянская, не купеческая — она вышла из крестьянской или посадской среды, где прозвище цепко приставало к человеку по его делу.