Фамилия Рыыбаков — редкий и яркий случай орфографической аномалии. В русском языке двойная «ы» в корне невозможна по правилам графики: после гласной буква «ы» не пишется, а уж две подряд — тем более. Скорее всего, перед нами не русская, а прибалтийско-финская или эстонская запись фамилии Рыбаков. В эстонском языке буква «ы» (õ) обозначает особый звук, средний между русским «ы» и «о», и на письме её могут удваивать для передачи долготы. Таким образом, носитель фамилии Рыыбаков — это, по всей вероятности, потомок эстонца или сету (южноэстонская народность), чью фамилию записали по-русски, но с сохранением местного произношения.

Если отбросить необычное написание, основа фамилии стандартна и восходит к прозвищу Рыбак. В русской ономастике это одна из древнейших «профессиональных» фамилий: рыбаком называли не только того, кто ловил рыбу для пропитания, но и владельца рыбных тоней, а также человека, торговавшего уловом. Фамилии на -ов образовывались по патронимической модели: Рыыбаков — буквально «сын Рыбака». В крестьянской среде, где наследственные прозвища закреплялись в XV–XVII веках, такая фамилия была распространена повсеместно — от Поморья до Дона.

Главная загадка — почему удвоилась «ы». В документах начала XX века, особенно в метрических книгах прибалтийских губерний, можно встретить варианты вроде Рыбаков, Рыббаков и Рыыбаков. Удвоение могло возникнуть из-за того, что писарь-эстонец передавал долгий гласный звук (в эстонском он называется «pikk õ»), а русский чиновник, не зная местной фонетики, просто написал две буквы «ы» подряд. Другая версия — опечатка, которая закрепилась в паспорте и перешла по наследству, но для редких фамилий такие «ошибки» часто становились нормой.

С точки зрения словообразования, суффикс -ов указывает на принадлежность к роду, а не на место жительства. Географически фамилия Рыыбаков сегодня встречается в Эстонии, Латвии и в северо-западных областях России (Псковская, Ленинградская). Если ваш предок носил такую фамилию, скорее всего, он был коренным жителем Причудья или Принаровья — регионов с сильным эстонским влиянием. Никакого особого дворянского или купеческого статуса эта фамилия не подразумевает: это типичная крестьянская или мещанская фамилия, лишь с необычным орфографическим следом местного произношения.