Фамилия Сабачкин образована по русской модели с суффиксом -ин, который указывает на принадлежность к отцу или главе семьи. Это типичный «патронимический» суффикс: он присоединялся к основе, оканчивающейся на -а или -я. В данном случае основа — Сабачка. Так в быту могли называть человека по прозвищу или по имени.

Самое правдоподобное объяснение основы — прозвище Сабачка, связанное с южнорусскими и украинскими говорами. В них «сабака» (собака) звучит как «сабака», а уменьшительная форма «сабачка» могла относиться к небольшой собаке или, в переносном смысле, к человеку. Прозвище Сабачка могли дать человеку с ворчливым характером, верному, как пёс, или тому, кто постоянно ходил за кем-то следом. В некоторых диалектах «сабачка» означала и невысокого ростом человека — по аналогии с маленькой собакой.

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от имени Сабачка как уменьшительной формы крестильного имени Савватий или Савва. В народной речи имя Савва сокращали до Сава, а затем с помощью суффикса -к- получали форму Савка, Сабака, Сабачка. Однако такое объяснение встречается реже, так как в документах и переписях фамилия Сабачкин чаще фиксируется в южных районах России и на Украине, где прозвищное значение было сильнее.

По сословной принадлежности Сабачкины, скорее всего, относились к крестьянам или мещанам. Фамилия не встречается в списках дворянских родов, а её просторечная основа указывает на среду, где прозвища давались по бытовым и характерным чертам. В XIX веке носители фамилии встречались в Курской, Воронежской и Харьковской губерниях.

Редкая особенность фамилии — сохранение в основе мягкого звука [ч’] перед суффиксом -ин. В большинстве аналогичных фамилий (Собакин, Коровкин) основа оканчивается на твёрдый согласный, но здесь чередование «к/ч» в слове «сабачка» дало характерное «Сабачкин», что отличает её от более распространённой фамилии Сабакин. Если вы встретите написание «Сабачкин» с двумя «к», это может быть искажением при переписи, но исторически верная форма — через «чк».