Фамилия Садий — редкий случай, когда носитель, скорее всего, не славянин, а потомок выходцев с Востока. В русском ономастиконе эта фамилия не исконная, а пришлая, и её разбор требует обращения к другим языковым традициям.

Корень фамилии — арабское имя или прозвище Сади (سعدي). В арабском и персидском языках «са’д» означает «счастье», «удача», «благополучие». Имя Саади (вариант — Саади) широко известно благодаря персидскому поэту XIII века Саади Ширази, автору «Гулистана». В тюркских языках, испытавших влияние ислама, это имя также бытовало, часто в форме Сади.

Фамилия образована по русской модели: к основе «Сади-» добавили суффикс -й, который в данном случае не патронимический (как -ов/-ев), а фиксирует окончание основы. Фактически, это русифицированная запись восточного имени: Садий — это «тот, кто Сади». Такая модель типична для фамилий, возникших в среде крещёных татар, башкир или других тюркских народов Поволжья и Кавказа, где арабские имена переходили в фамилии без дополнительных суффиксов, просто с русским окончанием.

Встречается также вариант написания через двойное «а» — Саадий. Это более точная передача арабского долгого гласного, но в русской записи чаще закрепился краткий вариант. Фамилия Садий может быть и грузинского происхождения: в грузинском суффикс -и (-ий) — стандартное окончание фамилий, а основа может восходить к тому же арабскому имени.

Географически фамилия тяготеет к регионам с татарским и кавказским населением: встречается в Татарстане, Башкортостане, Дагестане, а также в среде крымских татар. В центральной России она крайне редка.

Если носитель фамилии — русский по паспорту, то его предки, вероятно, были крещёными татарами или выходцами с Северного Кавказа, принявшими православие. В этом случае фамилия — прямое указание на родоначальника, которого звали Сади (или Саади), и никакой дополнительной ремесленной или географической подоплёки за ней нет.