Фамилия Садин — один из тех случаев, когда корень слова настолько многозначен, что без географии и контекста не обойтись. Сразу о главном: фамилия образована от прозвища или имени Садя, которое, в свою очередь, восходит либо к имени Саддей (арамейское «счастливый», редкая форма от Фаддей), либо к русскому слову «сад». Суффикс -ин указывает на принадлежность: Садин — «чей?» — сын или потомок человека по прозвищу Садя.

Вторая версия, самая бытовая, — связь с садоводством. Прозвище Садя могли дать человеку, который работал в саду, владел им или жил рядом. В говорах слово «сада» могло означать не только сад, но и «посадку», «рассаду». В этом случае фамилия — профессиональная, и предок носителя был садовником или огородником. Эта версия особенно вероятна для южнорусских регионов, где садоводство было распространено, и где фамилии на -ин от названий занятий (вроде Садовников) встречаются сплошь и рядом.

Третий, более редкий вариант — от имени Саддей через его просторечную форму Садя. Имя Саддей (греческая форма от древнееврейского Фаддей) в святцах есть, но в народе его сокращали до Садя, как и другие длинные имена. В этом случае Садин — это «сын Сади (Саддея)». Эта версия подкрепляется тем, что в старых документах встречаются записи вроде «Садя, крестьянин», где имя явно не связано с садом.

Географически фамилия Садин не привязана к одной местности, но чаще встречается в Поволжье и на Урале. В словаре Б. Унбегауна фамилия не выделена отдельно, но по своей словообразовательной модели (основа на -а + суффикс -ин) она типологически близка к Садиков, Садов, Садков. Интересная деталь: в некоторых говорах «садиной» называли рассаду или молодые саженцы, так что прозвище могло быть ироническим — для высокого и худого человека («как саженец»).

Итог: если ваши предки из крестьян Центральной России или юга, скорее всего, они занимались садоводством. Если из северных областей или из старообрядческой среды — вероятнее, имя Садя от Саддея. Спор между этими версиями решается только по конкретным архивным записям, но обе правдоподобны.