С фамилией Сашкина всё прозрачно: это женская форма фамилии Сашкин, а та, в свою очередь, образована от имени Сашка. Сашка — народная, разговорная форма крестильного имени Александр (в переводе с греческого «защитник людей»). Модель типичная: имя + суффикс -ин, который в русских фамилиях указывал на принадлежность: «чей?» — «Сашкин», то есть сын Сашки.

Обратите внимание: фамилия Сашкин (и Сашкина) — не отчество в строгом смысле, а патроним на -ин. Такие фамилии чаще всего получали крестьяне и посадские люди в XVI–XVII веках, когда в документах писали не полное отчество, а уличное или домашнее имя отца. Сашка — это не прозвище, а просто уменьшительное, но в быту оно могло закрепиться за целым родом. Если ваш предок в переписи значился как «Сашка Иванов», то его детей уже записывали Сашкиными.

Интересная деталь: в старину имя Сашка было настолько распространено, что фамилия Сашкин встречается повсеместно, но особенно часто — в северных и центральных губерниях России (Вологодская, Ярославская, Костромская). Там имя Александр в быту почти всегда редуцировалось до Сашки. На юге и западе чаще использовали форму Шура, поэтому фамилия Шурин или Шуркин — однокоренная, но с другим диалектным вариантом.

Встречается и другой, более редкий вариант происхождения — от прозвища Сашка, которое могли дать человеку не по имени, а по какой-то черте. Но для фамилии Сашкина этот путь маловероятен: слишком массовая и стандартная модель. Так что можете смело считать, что носительницы фамилии Сашкина — потомки человека по имени Александр, которого в семье и в деревне звали просто Сашкой.