Фамилию Саьуткин, скорее всего, стоит разбирать не со стороны корня, а со стороны её необычной записи. В русском языке буква «ь» (мягкий знак) в середине фамилии перед гласной — явление редкое. Наиболее вероятное объяснение: это диалектное или историческое искажение при записи фамилии в документах. Исходная форма, по всей видимости, — Савуткин.

Основа «Савут» — это производная форма от крестильного имени Савва (древнееврейское «сабба» — суббота, покой). В народной речи имя Савва давало множество уменьшительных вариантов: Сава, Савка, Савушка, а также Савута. Суффикс «-ут(а)» в русских именах и прозвищах (как Ванюта, Петрута, Мишута) указывал на ласкательное или, реже, пренебрежительное отношение. Соответственно, Савута — это «маленький Савва» или «сын Саввы». Фамилия Савуткин образована по стандартной модели: к основе на гласную «а» добавился суффикс принадлежности «-ин», который со временем превратился в «-кин» из-за чередования.

Географически такие фамилии с «уткиным» окончанием чаще встречаются в северных и центральных областях России, где были распространены диалектные формы имён. Если же написание «Саьуткин» не опечатка, а подлинная запись из метрической книги, это может быть следствием местного произношения: в некоторых говорах «в» перед «у» оглушалось или выпадало, а мягкий знак фиксировал йотированный звук («йу»). Тогда фамилию могли произносить как «Сайуткин», что лишь подтверждает её происхождение от того же имени Савва через форму «Савута». Предки носителей фамилии, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми, а сама фамилия возникла не позднее XVII–XVIII веков, когда активно шёл процесс закрепления родовых прозваний.