Фамилия Савунов образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей — от личного имени или прозвища с помощью суффикса принадлежности -ов. Основой послужило имя Савун. Это краткая, разговорная форма крестильного имени Савва (древнееврейское «сабба» — суббота, покой). В русской народной традиции полные имена часто усекали, добавляя уменьшительно-ласкательные суффиксы: Савва превращался в Саву, а от неё уже могли образовать форму Савун (по аналогии с Якун от Яков, Петрун от Пётр). Таким образом, Савунов буквально означает «потомок Савуна», то есть человека, которого в быту звали Савуном.

Менее вероятно, но возможно, что в основе лежит некалендарное прозвище Савун. В некоторых говорах «савуном» называли человека, который много спит (от глагола «савить» — спать, дремать, хотя этот глагол редок и локально ограничен). Однако эта версия слабее: прозвища от глаголов сна встречаются (Соня, Дрёма), но форма на -ун в этом значении для русских фамилий нехарактерна. Гораздо увереннее выглядит версия с именем Савва, тем более что фамилии Саввин, Савин, Савуков — одного корня и широко известны.

Географически фамилия Савунов тяготеет к центральным и южнорусским областям, где имя Савва было особенно популярно среди крестьян и купечества. Встречается она нечасто, что говорит о её локальном происхождении: вероятно, родоначальник жил в одном селе или уезде, и фамилия не разошлась широко. Сословно — это типичная крестьянская или мещанская фамилия, возникшая не ранее XVII века, когда у простых людей закрепились отчества в форме притяжательных прилагательных.

Интересная деталь: в старых документах фамилию могли записать через «а» — Савунов, но изредка встречается вариант с «о» в корне — Совунов, что связано с акающим произношением. Такие колебания в написании — обычное дело для фамилий, возникших в устной среде до всеобщей грамотности. Если ваш предок носил фамилию Савунов, с высокой долей вероятности его звали Саввой, а в быту — Савуном, и он был простым сельским жителем.