Фамилия Саввиных стоит в ряду так называемых полуотчеств — форм на -их/-ых, типичных для севера России, Сибири и некоторых областей Поволжья. Если фамилии на -ов/-ин отвечают на вопрос «чей?» (чей сын? Саввин), то форма Саввиных — родительный или предложный падеж множественного числа: «из дома Саввиных», то есть «из семьи, где главой был Савва». Такая модель закрепилась в качестве фамилии в XVII–XVIII веках и особенно распространена в бывших вотчинах Строгановых, в Архангельской, Вологодской, Вятской губерниях.

Основа — каноническое мужское имя Савва, которое пришло на Русь вместе с христианством из греческого языка. По основной версии, греческое Σάββας восходит к арамейскому слову «саба» — старец, дед. В церковном календаре несколько святых с этим именем, самый почитаемый — преподобный Савва Освященный, основатель лавры в Палестине. Имя было распространено во всех сословиях: от крестьян до купечества, поэтому фамилия Саввиных не указывает на какое-то одно ремесло или социальный слой.

С точки зрения словообразования фамилия Саввиных отличается двойным «в» в корне. Это не опечатка и не вариант написания: имя Савва в русском языке даёт формы Саввин, Саввич, Саввушка. Одна буква «в» здесь была бы в том случае, если бы основой служило не имя Савва, а краткая форма Сава (от Савелий или Савватий). Таким образом, написание с двумя «в» — верный признак того, что фамилия произведена именно от полной формы имени Савва.

Интересная деталь: в некоторых старых документах встречается вариант Савиных — с одной «в». Это могло возникнуть из-за бытового произношения (в живой речи двойное «в» упрощается) или из-за смешения с фамилией, образованной от имени Сава. Однако в современном русском языке нормативным для данной фамилии считается написание с двумя «в» — Саввиных. Если вы встречаете одно «в» в документах предков, это, скорее всего, вариант, зафиксированный писцом «на слух».

Что касается географии, фамилия Саввиных встречается не только в северных регионах, но и в центральной России, что связано с миграциями крестьян после отмены крепостного права. Встречается она и у старообрядцев, которые часто сохраняли архаичные формы фамилий на -их/-ых.