Фамилия Сазаев образована от имени или прозвища Сазай. Основа здесь — тюркское слово «сазан», то есть рыба семейства карповых. В русских говорах «сазан» тоже известно, а в тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) слово «сазан» или «саза» могло быть личным именем. Такие «рыбные» фамилии не редкость: Щукин, Карасёв, Ершов — все они из того же ряда.

Суффикс -ев указывает на русскую модель образования фамилий от основ на мягкий согласный или на -й. Сазай — основа, оканчивающаяся на -й, поэтому закономерно дала Сазаев, а не Сазанов. Если бы исходное прозвище звучало как Сазан, фамилия была бы Сазанов. Разница в одну букву, а модель образования разная.

У фамилии есть региональный след. Сазаевы встречаются в Поволжье и на Урале — в тех местах, где исторически смешивались русское и тюркское население. В татарской среде фамилия могла возникнуть от имени Сазай (Саза) — уменьшительной формы от более длинных тюркских имён. В русской среде — как прозвище рыбака или человека, чем-то напоминавшего сазана (полнота, медлительность, либо, наоборот, ловкость в воде).

Встречается и альтернативная версия: связь с осетинским «саз» — «лёд», но она маловероятна, поскольку фамилия почти не фиксируется на Кавказе, а основная зона бытования — Волго-Уральский регион.

Словарь Б. Унбегауна относит фамилию к группе «фамилий от прозвищ, связанных с животным и растительным миром», но без специального разбора. В целом Сазаев — прозрачная по составу, но неоднозначная по происхождению фамилия, где тюркский след кажется более убедительным, чем чисто русский прозвищный.