Фамилия Шаивская — женская форма фамилии Шаивский, и её происхождение ведёт к топониму или прозвищу с довольно редкой основой. В отличие от массовых фамилий на -ов/-ев, эта модель (на -ский/-цкий) указывает на связь с географическим названием: такую фамилию обычно получал помещик по названию своего имения, либо выходец из села или местечка Шаи, Шаево, Шаевка. Если следовать этой логике, предок носителя фамилии был либо владельцем такого населённого пункта, либо переселенцем, которого записали «с Шаи» — то есть по месту прежнего жительства.

Корень «шаи-» вызывает вопросы. Самая прямая версия — что он восходит к слову «шай» или «шаи» в значении «мелкая монета» или «мелочь» (из тюркских языков, ср. «шайка» — мелкая монета в Средней Азии). В этом случае прозвище Шай мог получить человек, который торговал мелочью, был менялой или просто обладал невысоким ростом и незначительным положением. Однако есть и другая, менее вероятная гипотеза: связь с диалектным «шаять» — «гореть, тлеть» (отсюда же «шайка» в значении «баня»). Тогда Шаем могли назвать человека с горячим нравом или, наоборот, того, кто работал у печи — печника или кузнеца.

Стоит отметить, что фамилия Шаивская — редкая. Она не встречается в массовых списках дворянских родов и вряд ли принадлежала столбовому дворянству. Скорее всего, это поздняя фамилия, возникшая в XIX веке у выходцев из местечек на территории современной Украины или Беларуси, где суффикс -ский был особенно распространён. В пользу этого говорит и характерное окончание -вская, а не -евская: в основе лежит не имя Шай, а прилагательное от названия поселения (например, Шаево → Шаевский → Шаивский, с переходом «е» в «и» под влиянием акающего произношения).

Таким образом, если вы носите фамилию Шаивская, ваши предки, скорее всего, происходили из небольшого села или хутора, название которого было связано либо с денежной мелочью, либо с огнём. Точную географию можно было бы установить по польским и российским метрическим книгам XIX века — именно в них чаще всего фиксировались фамилии подобной модели.