Фамилия Шаварський звучит не совсем по-русски. Её основа и суффикс сразу указывают на польское или украинское происхождение. Типичный суффикс -ський (-ski) в славянских языках чаще всего образовывал фамилии от названий местностей — сёл, городков или урочищ. Так что первый и самый вероятный ответ: предок носителя этой фамилии был либо родом из места под названием Шавар, Шавары, либо владел там землёй.

Теперь вопрос: что это за место? Топоним Шавар (или Szawar) не слишком распространён, но встречается. В польских источниках упоминается деревня Szawary (Шавары) в исторической области Подляшье (сейчас территория Польши и Беларуси). Название могло произойти от личного имени Шавар — возможно, прозвища, данного человеку с определёнными чертами. В древнепольском языке слово «szawar» могло означать «шумный», «крикливый» или относиться к человеку с грубоватым голосом. В украинских говорах похожий корень «шавар» иногда связывают с камышом или зарослями (ср. «шаварі» — заросли, тростник). В таком случае прозвище Шавар могли дать человеку, жившему у заросшего озера или болота.

Таким образом, у фамилии два равноправных пути. Первый — географический: «Шаварський» — это «тот, кто из Шавар». Второй — прозвищный: предок носил уличное прозвище Шавар (по месту жительства или по характеру), а его потомки получили фамилию на польский манер. В пользу первой версии говорит массовость модели образования фамилий на -ський у польской шляхты и украинской старшины. В пользу второй — то, что и сам топоним мог произойти от такого же прозвища.

С точки зрения социального статуса, фамилия на -ський в XVII–XVIII веках была маркером принадлежности к шляхетскому или казацкому сословию. Однако в XIX веке, после разделов Речи Посполитой, такие фамилии массово получали и крестьяне при переписях — по названию деревни, где они жили. Поэтому утверждать, что Шаварськие — потомки дворян, без генеалогического исследования нельзя. Но то, что фамилия имеет чёткую региональную привязку к западнорусским землям (современные Польша, Беларусь, Западная Украина), — факт.

В написании фамилии возможны варианты: Шаварский (русифицированная форма), Szawarski (польская). Встречается она нечасто, что делает её хорошим маркером для поиска корней — скорее всего, все носители восходят к небольшому числу предков из одного региона.