Фамилия Шеваренко — украинская по модели образования, что сразу видно по суффиксу -енко. В украинской ономастике этот суффикс — типичный патронимический показатель: он означал «сын» или «потомок» (как русские -ов/-ев, -ин). Так что Шеваренко — это буквально «сын Шеваря» или «потомок Шеваря». Но кто такой Шеварь?

Основа фамилии восходит к прозвищу или личному имени Шеварь. Само слово — тёмное, нечастое. Есть несколько версий происхождения. Первая и самая правдоподобная: от глагола «шевелить» или существительного «шевера» — в южнорусских и украинских говорах так называли мелкую рыбу, сорную траву, а также непоседливого, суетливого человека. Прозвище Шеварь могли дать егозе, вертлявому или тому, кто занимался ловлей мелкой рыбы. Вторая версия: от тюркского корня, но она слабее — в украинских степях фамилии с тюркскими корнями обычно имеют более прозрачную основу (например, от слов «баран», «кушак»), а «шеварь» звучит как исконно славянское.

Фамилия Шеваренко — довольно редкая. Встречается преимущественно на востоке Украины и в южных областях России, куда переселялись украинцы в XVIII–XIX веках. Носители, скорее всего, происходят из крестьянской или казацкой среды — в этих сословиях патронимы на -енко были самой распространённой формой фамилии. В дворянской среде закрепились фамилии на -ский/-цкий, а Шеваренко — явный признак простого происхождения.

Интересная деталь: в некоторых старых записях фамилию могли писать как «Шиваренко» — через «и» в первом слоге. Это не ошибка, а диалектное произношение: в украинских говорах «е» после шипящих часто переходило в «и». Так что, если встретите такой вариант, это та же фамилия, только записанная на слух.