Фамилия Шугайлюк — характерный пример того, как украинская словообразовательная модель превращает нарицательное слово в родовое имя. В её основе лежит существительное «шугай» или «шугайка». Так в западных и центральных областях Украины, а также в южных регионах Беларуси называли вид женской распашной одежды — короткую кофту, безрукавку или шугай (от венгерского «шуга» — накидка, плащ). Прозвище Шугай могли дать человеку, который шил такую одежду, торговал ею или просто часто её носил.

Суффикс -юк (как и -ук, -чук) — типичный для западноукраинских фамилий, особенно распространённый на Волыни, Подолье и в Галиции. Он указывал на принадлежность: сын Шугая, то есть «Шугайлюк» — буквально «маленький Шугай» или «потомок Шугая». Такая модель образования фамилий (от прозвища отца с помощью патронимического суффикса) характерна для крестьянских и казацких родов, где фамилии закрепились позже, чем у шляхты, — в XVII–XIX веках.

Встречаются и родственные фамилии: Шугай, Шугаев (русифицированная форма), Шугайло, Шугайчук. Шугайлюк — одна из самых редких вариаций, что говорит о локальном бытовании, возможно, в одном селе или небольшой округе. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из западноукраинских земель, находившихся в составе Австро-Венгрии или Речи Посполитой, и его род занятий мог быть связан с портняжным ремеслом или торговлей одеждой.

Вторая, менее вероятная версия, связывает основу с глаголом «шугать» (пугать, гнать) или «шугай» — так в некоторых говорах называли пугало или бродягу. Но в случае с Шугайлюк эта гипотеза слабее: суффикс -юк указывает на отчество, а не на прямое прозвище по действию, и одежная семантика в украинской ономастике встречается чаще.