Фамилия Синеок напрямую рассказывает, как выглядел её первый носитель: это прозвище сложилось из словосочетания «синие очи», то есть глаза голубого или синего цвета. Так нарекли человека, чья внешность запоминалась в первую очередь ярким цветом глаз. Подобные прозвища по наружности — один из древнейших пластов русских фамилий: они возникали в крестьянской и посадской среде задолго до того, как фамилии закрепились официально.

Интересно, что в славянской народной культуре глазам придавали особое, почти магическое значение. Считалось, что взглядом можно воздействовать на окружающих — отсюда поверья о сглазе и «дурном глазе». Телесные недостатки, связанные с глазами, нередко толковали как демоническое наследие, а вот большие, широко открытые, красивые глаза, напротив, видели знаком доброй и хорошей силы. Поэтому прозвище Синеок, скорее всего, несло положительный оттенок и выделяло человека с «чистым» и светлым взглядом.

Словообразовательная модель здесь проста и прозрачна: основа «сине-» (от прилагательного «синий») плюс корень «-ок» от «око». Фамилия застыла в форме краткого прилагательного мужского рода, что типично для прозвищ, перешедших в фамилии без изменений. По такому же принципу возникли, например, Белоок, Черноок или Кривоок — все они описывали особенности глаз. Однако Синеок выделяется на их фоне: если «черноокий» и «белоокий» встречаются в фольклоре как эпитеты, то именно «синие очи» стали устойчивым поэтическим образом русской речи, что придаёт фамилии почти былинный оттенок.

Фамилия осталась редкой и не получила массового распространения. Скорее всего, она бытовала локально, в определённых говорах, где слово «очи» в прозвищах употреблялось чаще, чем в литературном языке. В современных документах Синеок встречается преимущественно на юге России и в украинских землях, что неудивительно: там формы с «оком» и «очима» были естественны для живой речи. При этом фамилия не перешла в типичную патронимическую форму на -ов или -ин, а сохранилась как застывшее прозвище — это указывает на её раннее происхождение, когда фамилии ещё не оформлялись по единому образцу.

Если ваши предки носили фамилию Синеок, можно с высокой долей уверенности говорить, что родоначальник выделялся голубыми глазами среди окружающих — черта достаточно заметная, чтобы закрепиться за семьёй на века.