Фамилия Сингаева — женская форма фамилии Сингаев. Её основа, скорее всего, прозвищная, а не крестильная. Искать прямой корень в русском языке не стоит: «синга» как самостоятельное слово в русских говорах не фиксируется. Зато есть веская версия, что фамилия тюркского происхождения.

Самый вероятный источник — тюркское личное имя или прозвище Сингай. В тюркских языках «син» может означать «могила», «памятник», а «гай» — суффикс принадлежности или уменьшительности. То есть Сингай — «относящийся к могиле» или «могильный». Прозвище могли дать человеку, жившему у кладбища, работавшему с погребальными обрядами или имевшему мрачноватый нрав. В русской среде такие прозвища не редкость: вспомните фамилии Могилёв, Гробов, Кладбищенский.

Менее убедительная, но возможная версия — связь с диалектным глаголом «сингать» (в некоторых говорах — «синеть», «становиться синим»). Тогда Сингай — человек с синюшным лицом или синеватой кожей, например, от холода или болезни. Но эта гипотеза слабее, потому что глагол редок и локально ограничен.

Словообразовательная модель проста: к основе Сингай добавили русский патронимический суффикс -ев (по правилу: после й пишется е, а не ов). Фамилия Сингаев/Сингаева — типичный пример того, как тюркское прозвище адаптировалось в русской ономастике. Географически фамилия встречается в Поволжье и на Урале — регионах с давними тюркско-русскими контактами.

Если ваши предки — Сингаевы, скорее всего, они происходят из среды, где смешивались русские и тюркские традиции: возможно, из служилых татар, казаков или крестьян юго-восточных губерний. Точное сословие без архивов не определить, но прозвище указывает на незнатное происхождение.