Фамилия Синьгаева — женская форма фамилии Синьгаев, и её происхождение напрямую связано с прозвищем или мирским именем Синьгай. В основе лежит слово «синьга» — так в русских говорах, особенно на севере и в Сибири, называют небольшую утку, чирка-свистунка. Утка синьга получила имя за характерный сизый или синеватый отлив оперения, так что корень здесь — «синий», а не какая-либо другая лексема.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ев присоединился к основе Синьгай, указывая на принадлежность («чей?» — Синьгаев, то есть сын или потомок Синьгая). Суффикс -ай в прозвищах был распространён в XV–XVII веках: он придавал имени чуть уменьшительный или фамильярный оттенок, как в прозвищах Малый, Толстай, Косай. Таким образом, Синьгай — это человек, которого прозвали за сходство с птицей: может, за голубоватый цвет глаз или одежды, а может, за быструю, «утиную» походку или манеру нырять.

Фамилия редкая, но не единичная. Основной ареал бытования — Поволжье и Урал, особенно в Пермском крае и Кировской области. Встречаются варианты написания Синьгаев (мужская форма) и Синьгаева (женская), а также единичные случаи Синьгаевых с ударением на второй слог — Синьгаев. В дореволюционных переписях носители фамилии фиксировались в основном среди государственных крестьян и бывших монастырских крестьян, то есть социальный статус был невысоким — податное сословие.

Любопытно, что в ономастических справочниках фамилию иногда путают с Синёвой или Синегаевым, но это разные корни. Синьгаев — однозначно от названия утки, а не от прилагательного «синий» напрямую. Если ваш предок носил прозвище Синьгай, он вполне мог жить в лесной или болотистой местности, где водилась эта дичь — охотники и птицеловы часто давали такие меткие прозвища.