Фамилия Синюкин в своей основе имеет прозвище Синюка, и это сразу задает два возможных пути толкования. Первый и самый очевидный связан с цветом: прозвище могло произойти от глагола «синить», то есть «делать синим, красить в синий цвет». В некоторых говорах этот глагол означал и более широкое действие — «красить ткани вообще, в любой цвет». Такое значение указывает на «профессиональное» именование: предок носителя фамилии мог быть мастером по окрашиванию тканей. Второй путь ведет к личному имени. Синюка — это народная форма женского еврейского имени Шейна, которое в переводе означает «красивая». В этом случае прозвище отражало не ремесло, а внешность или характер человека, и закрепилось за ним как основное бытовое именование.

Правдоподобность версий неравноценна. Версия с ремеслом красильщика выглядит убедительнее: она объясняет и сам корень, и суффикс, и то, почему прозвище вообще возникло — в крестьянской среде профессиональные прозвища были обычным делом. Версия от имени Шейна возможна, но она требует допущения, что имя перешло в прозвище, а затем в фамилию, что для русской ономастики реже. Слабость этой гипотезы в том, что она не объясняет, почему именно форма Синюка, а не, скажем, Шейнин, закрепилась в фамилии.

Словообразовательная модель здесь простая и показательная для русских фамилий: суффикс -ин присоединяется к основе, оканчивающейся на гласный. Так от прозвища Синюка образовалась фамилия Синюкин, то есть «сын Синюки», «принадлежащий Синюке». Эта модель — одна из самых распространенных в русской антропонимии, наряду с -ов и -ев. Фамилия Синюкин — «патронимическая», она отвечает на вопрос «чей ты будешь?», и в этом ее типичность для фамилий, сложившихся в XVI–XVII веках, когда прозвища отцов закреплялись за детьми.

Родственные фамилии — Синюков, Синюхин, Синюшин — образованы от тех же корней, но с разными суффиксами. Синюков встречается чаще, Синюхин может указывать на прозвище Синюха (так в некоторых регионах называли синюю краску или синеватую глину), а Синюшин — на форму Синюша. Разброс форм говорит о том, что прозвище было живым и бытовало в разных говорах, а не застыло в одном виде. Географически фамилия распространена в центральной России и Поволжье, где ткачество и крашение были развитыми промыслами, что косвенно поддерживает «ремесленную» версию.

Известных носителей фамилии, которые оставили бы заметный след в истории, назвать сложно — в открытых источниках таких данных нет, и это нормально для фамилии, восходящей к прозвищу рядового ремесленника или крестьянина. Сама фамилия не редкая, но и не массовая, что типично для прозвищ, закрепившихся в одной местности.

Итог простой: если ваш предок носил фамилию Синюкин, скорее всего, он происходил из семьи красильщика или человека, которого за синеву чего-либо — одежды, рук, бороды — прозвали Синюкой. Версия с именем Шейна остается экзотической и вряд ли применима к большинству носителей.