Фамилия Слинеук — редкий случай, когда прозвище почти не изменилось за века, и его значение лежит на поверхности. В основе лежит украинское слово «слина» — слюна. Вторая часть, «-ук», — это типичный западноукраинский суффиск, который в фамилиях выполняет две роли: указывает на происхождение от кого-то (сын такого-то) или, реже, на носителя характерного признака. То есть Слинеук — это буквально «тот, кто слюнявит» или «слюнтяй».

Однако не стоит спешить с обидой. В старину прозвища давали не столько за физический недостаток, сколько за манеру поведения или работы. Слинеуком могли назвать человека, который постоянно смачивал пальцы слюной, пересчитывая деньги или перебирая бумаги, — например, приказчика, писаря или мелкого торговца. Ещё одна версия: так могли прозвать младенца, который часто пускал слюни, но в этом случае прозвище редко закреплялось за целым родом.

Словообразовательная модель Слинеук характерна для Подолья, Волыни и Галичины — регионов, где суффикс «-ук» конкурирует с «-енко». Фамилия встречается в основном на западе Украины, в частности в Хмельницкой и Винницкой областях. В России она почти не бытует, что подтверждает её чёткую региональную привязку.

С точки зрения ономастики, Слинеук — прозвищная фамилия, образованная от бытового, порой ироничного, а не от крестильного имени. В словарях украинских фамилий (например, в работах Ю. Редько) подобные образования описываются как «номинации по внешнему признаку или действию». Сословной принадлежности по такой фамилии не определить: её мог носить и крестьянин, и мещанин, и казак.