Фамилия Сливанков — довольно редкая, но её происхождение прослеживается достаточно чётко. В основе лежит прозвище или мирское имя Сливанко, которое, в свою очередь, образовано от глагола «сливать» или существительного «сливки». Модель образования стандартна для восточнославянских фамилий: суффикс -ко, типичный для украинских и белорусских прозвищ, а затем обрусевшая форма с фамильным суффиксом -ов. То есть Сливанко — это человек, получивший прозвище за свою профессию или характер, а Сливанков — его потомок.

Наиболее вероятное объяснение — профессиональное. Сливанком могли называть того, кто занимался сливками: снимал их с молока, продавал, делал масло или сметану. В крестьянском быту это было заметное занятие, и прозвище прилипало к молочнику или скотоводу. Менее распространённая, но возможная версия — прозвище по поведению: «сливать» в переносном смысле означало «убегать, исчезать» (ср. «слинять»). Однако контекст фамилий, образованных от названий продуктов, встречается гораздо чаще, чем от глаголов движения, поэтому первая гипотеза надёжнее.

Суффикс -ков указывает на то, что фамилия формировалась в русской языковой среде, но её корень явно выдает южное или западное происхождение. Носители фамилии Сливанков, скорее всего, происходят из регионов, где были сильны украинские или белорусские говоры (современные Брянская, Курская, Смоленская области, а также восток Украины). В XIX веке такие фамилии часто фиксировались у крестьян и мещан, перебравшихся в великорусские губернии.

В ономастических словарях (например, в работах Б. Унбегана) фамилии на -анко, -енко, -анков встречаются как переходный тип: украинская основа, адаптированная русским окончанием. Сливанков стоит в одном ряду с фамилиями Сметанников, Масленников, но отличается тем, что исходная форма не отвлечённое понятие, а конкретное прозвище человека. Если вам встречались однофамильцы с вариантом Сливанко — это, скорее всего, исходная, не русифицированная форма, которая сохранилась на Украине.