Фамилия Сливанов образована от прозвища Слива или уменьшительной формы Сливан. Вопреки интуитивному ожиданию, в большинстве случаев корень здесь не связан с фруктовым деревом. Основа «слив-» в русских говорах имела и другое значение: «сливать», «выливать», «сцеживать». Прозвище Сливан могли дать человеку, который занимался переливкой жидкостей — например, сливал мёд или квас при производстве, работал на винокурне или в красильне. В южнорусских и украинских диалектах «слива» как прозвище могло относиться к полному, округлому человеку, но для формы Сливанов более вероятна первая, профессиональная версия.

Суффикс -анов (-анов) указывает на притяжательную модель: «чей?» — Сливанов, то есть сын или потомок Сливана. Это типичная для XVI–XVII веков модель, когда прозвище отца переходило в фамилию детей. Интересно, что фамилия встречается в основном в центральных и южных областях России, а также в Поволжье, что косвенно подтверждает её связь с промыслами, а не с садоводством — слива как культура была распространена южнее.

Второстепенная, но не исключённая версия — от имени Сливан как варианта канонического имени Сильван (от лат. silva — «лес»). В народной речи имя Сильван могло упроститься до Сливан. Однако эта гипотеза слабее: фамилии на -анов от имён на -ан встречаются реже, чем от прозвищ, и не имеют массового подтверждения в переписных книгах.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» модель с суффиксом -анов от основ на -а/-я рассматривается как одна из продуктивных в XVI–XVII веках, но конкретно фамилия Сливанов не выделена. Встречается она и в варианте Сливин — с другим суффиксом, но тем же корнем. Если ваш предок носил фамилию Сливанов, скорее всего, он был потомком человека, занятого в ремесле, связанном с переливкой или розливом жидкостей, — от медовара до кожевника.