Фамилия Солодяшкина образована от прозвища или мирского имени Солодяшка. Основа здесь — «солод», то есть пророщенное и высушенное зерно, главное сырьё для пивоварения и квасоварения. В старину солодяшкой могли назвать человека, который занимался приготовлением солода, торговал им или просто любил солодовые напитки. В говорах слово «солодяга» или «солодяжка» означало и сам солодовый настой, и хмельной напиток из него — отсюда прямой путь к прозвищу любителя выпить, хотя это лишь одна из версий.

Суффикс -к- в основе Солодяшк- указывает на уменьшительно-пренебрежительную или просто обиходную форму имени или прозвища. Такие формы в русской ономастике часто закреплялись за человеком невысокого социального статуса — крестьянином, ремесленником, холопом. Фамилия на -ин (Солодяшкин / Солодяшкина) принадлежит к патронимическому типу: она отвечает на вопрос «чей?» и означает «сын (или дочь) Солодяшки». По модели это типичная русская фамилия, распространённая в северных и центральных губерниях, где суффикс -ин чаще присоединялся к основам на -а/-я.

Интересная деталь: фамилия Солодяшкин не встречается в классических дворянских родословных книгах, но фиксируется в переписных книгах XVII–XVIII веков, например, в Вятской и Архангельской губерниях. Там солодяжники (работники на солодовнях) составляли заметную прослойку посадского населения. В отличие от более частых Солодовниковых или Солодянкиных, Солодяшкины — более редкий вариант, сохранивший именно прозвищную, а не профессиональную форму. Если ваши предки носили эту фамилию, они скорее всего были не просто солодовщиками, а людьми, получившими прозвище по своей особенности или бытовой привычке, связанной с солодом.