Фамилия Сологай — редкий случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без суффиксальных изменений, что указывает на её относительно позднее закрепление в среде, где ещё не сложилась традиция добавлять -ов/-ев или -ин. В основе лежит слово «сологай» — в южнорусских и украинских говорах так называли человека с кривыми, «соломенными» ногами, то есть хромого или косолапого. Сравните с диалектным «солога» — искривление, изъян, и «сологнуться» — согнуться, покоситься. Таким образом, первый носитель фамилии получил её по характерной походке или физической особенности.

Словообразовательная модель здесь минималистична: корень «солог-» плюс суффикс -ай, который в восточнославянских прозвищах часто придавал оттенок просторечности и бытовой меткости (ср. «кривляй», «ломотай»). Фамилия не получила патронимического окончания, потому что могла оформиться в среде казачества или однодворцев, где прозвища нередко становились официальными фамилиями без изменений, особенно в XVII–XVIII веках на территории современных Черниговской, Полтавской и Курской областей.

Есть и альтернативная версия, связывающая фамилию с тюркским корнем «сол» — левый, и «гай» — сторона, что могло бы указывать на левшу. Но эта гипотеза слабая: в тюркских языках нет устойчивого антропонима «Сологай», а славянская основа с прозрачной внутренней формой выглядит убедительнее. К тому же фамилия практически не встречается в Поволжье и на Урале, где тюркское влияние сильнее, а сосредоточена в украинском и южнорусском пограничье.

Географически Сологаи — редкая фамилия, её основные очаги: Черниговская область Украины, Брянская и Курская области России. В документах XIX века носители фигурируют преимущественно как государственные крестьяне и казаки, что подтверждает её происхождение из непривилегированных слоёв. Фамилия не имеет дворянских ветвей и не зафиксирована в родословных книгах — это «народная» фамилия, сохранившая память о прозвище, данном по внешнему признаку.