Фамилия Старинкий — редкий случай, где написание расходится с произношением, и это сразу бросается в глаза. На слух она звучит как «Старинский», но на письме закрепилась форма с «к». Такие варианты возникали из-за местных говоров, где «ц» и «с» смешивались, или из-за ошибок писцов при переписи населения. В любом случае, основа у фамилии одна — прилагательное «старый».

По словообразовательной модели это типичная фамилия на -кий, которая в русской ономастике восходит к польскому или западнорусскому влиянию. Суффикс -ск- (в упрощённом виде -к-) указывал на принадлежность к местности или роду. «Старинкий» — буквально «тот, кто из старых», «относящийся к старине». Чаще всего так называли человека, который жил в урочище, селе или на хуторе с названием Старое, Старина, Старинка. Такие топонимы встречаются по всей России, Украине и Беларуси, и фамилия могла возникнуть независимо в разных регионах.

Впрочем, есть и вторая версия, более прозаичная. Прозвище Старина на Руси давали не только пожилым людям, но и тем, кто держался старых обычаев, носил старомодную одежду или просто выглядел старше своих лет. От такого прозвища через притяжательную форму и образовалась фамилия. Сравните с однокоренными Стариков, Старцев — там модель проще, с суффиксом -ов/-ев, а Старинкий стоит особняком, что говорит о более позднем или диалектном происхождении.

Социальный состав носителей был пёстрым. В документах XVIII–XIX веков Старинкие встречаются и среди крестьян, и среди мещан, и даже в среде мелкопоместного дворянства, которое получало фамилии по названиям своих имений. Но массового распространения фамилия не получила: она осталась локальной, осев в основном в западных губерниях Российской империи — на Смоленщине, в Могилёвской и Витебской губерниях, а также на Черниговщине. Сегодня носители фамилии рассеяны, но наибольшая концентрация сохраняется в Беларуси и приграничных областях России.

Форма Старинкий — не опечатка, а живое свидетельство того, как устная речь влияла на письменную фиксацию фамилий. Если ваши предки носили её именно так, скорее всего, корни ведут в регионы, где «цоканье» или «шепелявенье» было нормой, а писарь записал фамилию на слух, не сверяясь с книжным образцом.