Фамилия Ставерский — одна из тех, где географическая привязка перевешивает прозвищную. Она образована по продуктивной модели с суффиксом -ск-, который в русских фамилиях чаще всего указывает на связь с местом: владельческий или топонимический оттенок. Основа «Ставер» почти наверняка восходит к названию населённого пункта — села, хутора или урочища. Таких топонимов на карте бывшей Речи Посполитой и юго-запада Российской империи несколько: например, Ставеры или Ставерово в современной Беларуси и на западе Украины. Фамилия, скорее всего, закрепилась за выходцами именно оттуда.

Менее вероятна, но допустима версия от прозвища Ставер, которое могло быть связано с диалектным словом. В некоторых говорах «став» или «ставер» — это пруд, запруда, а также часть мельничного колеса. В таком случае прозвище могли дать человеку, жившему у мельницы или занимавшемуся устройством запруд. Но в пользу топонимической версии говорит сам суффикс -ский: для прозвищных фамилий типичнее -ов, -ев, -ин. Ставерский — это «тот, кто родом из Ставеров».

С точки зрения социального контекста, фамилии на -ский в XIX веке часто встречались у шляхты, духовенства и мещанства западных губерний. Однако Ставерский мог принадлежать и крестьянину, записанному по названию деревни после отмены крепостного права. Точных данных о массовой принадлежности к определённому сословию нет, но само звучание фамилии — книжное, «географическое», а не деревенское патронимическое.

В написании фамилия устойчива: варианты вроде Ставирский или Ставерской встречаются редко и обычно являются результатом описок в метриках. Сравнение с однокоренными фамилиями (Ставер, Ставеров, Ставский) показывает, что Ставерский — самая поздняя и «официальная» форма, закрепившаяся в документах.

Если коротко: предки носителя фамилии, скорее всего, жили в местечке с корнем «став» на западе современной Беларуси или Украины, а сама фамилия оформилась уже при переходе на русское делопроизводство.