Фамилия Ставсков образована по модели, которая сама по себе говорит о многом: суффикс -ск- в русских фамилиях указывает на географическое или территориальное происхождение. Чаще всего такие фамилии носили дворяне (по названию имения) или выходцы из западнорусских земель, где эта модель была особенно распространена. Однако Ставсков — не типичная дворянская фамилия вроде Волконского или Трубецкого. Скорее всего, её дали человеку, который жил в населённом пункте с названием Ставсково, Ставска или похожим. Такие топонимы встречаются в центральной России, особенно в бывших Рязанской, Тамбовской и Владимирской губерниях, где есть деревни с корнем «став-».

Корень «став» многозначен. В древнерусском языке «став» — это не только «ставня» или «стан», но и «место для стоянки», «постоянный двор», а также «пруд» или «запруда» (в южных и западных говорах). В областных говорах «ставок» — небольшой пруд, искусственный водоём. Отсюда прозвище Ставок или Ставской мог получить человек, живший у такого пруда или занимавшийся строительством запруд. В украинском и белорусском языках «став» — это именно пруд, что усиливает версию о западнорусском или малороссийском следе фамилии.

Менее вероятно, но возможно, что основа связана с глаголом «ставить» — в значении «строить» или «устанавливать». Тогда Ставсков — потомок человека, которого прозвали Ставок за мастерство в плотницком деле или за организацию работ. Однако для прозвищ, образованных от глаголов, типичнее суффикс -к- (Ставок, Ставка), а не -ск-, поэтому версия с топонимом или гидронимом надёжнее.

Сама форма Ставсков — притяжательное прилагательное, отвечающее на вопрос «чей?»: сын человека по прозвищу или фамилии Ставской. Со временем окончание -ой сменилось на -ов, как у многих фамилий, пришедших из прилагательных. В документах XIX века такую фамилию могли записать как Ставской, а позже закрепился вариант Ставсков.

Фамилия редкая. Встречается в основном в Центральной России и Поволжье, единичные носители есть на Урале. В дореволюционных метрических книгах Ставсковы чаще всего числились государственными крестьянами и мещанами — то есть не дворянами, а свободными сельскими обывателями.