Фамилия Сульжитская — редкий пример, где географическая привязка почти наверняка перевешивает все прочие версии происхождения. Её основа — топоним, а не личное имя или прозвище. Суффикс -ск- прямо указывает на то, что перед нами фамилия, образованная от названия места: села, деревни или урочища. Вопрос лишь в том, от какого именно.

Самый прямой и правдоподобный путь — польская или западнорусская фамилия, образованная от названия населённого пункта вроде Сульжице, Сульжин или Сульжи. В польской ономастике суффикс -ицк-/-ыцк- типичен для шляхетских фамилий, указывающих на родовое поместье. Если предок был мелким шляхтичем или владельцем земли, его потомки получали фамилию по названию имения. В белорусском и украинском варианте та же модель дала бы Сульжицкий, но форма на -ая (Сульжитская) — это уже адаптация в русском языке, где женский род фамилии стал окончанием прилагательного.

Корень «сульж» тёмный и неочевидный. Можно предположить его связь с древнепольским словом «sulic» — «сулить, обещать», или с литовским «sulžti» — «ломаться, трескаться», но это спекуляции без твёрдой почвы. Гораздо вероятнее, что исходное название деревни произошло от прозвища или имени первопоселенца (Сульга, Сульжа), а уж откуда взялось то прозвище — сказать почти невозможно. В любом случае, фамилия не крестьянская, не от ремесла, а территориальная, что сужает круг возможных предков до людей, владевших или живших в конкретном месте.

Встречается фамилия крайне редко, в основном в западных областях России, Беларуси и на Украине. Поиск по современным базам показывает её единичные вхождения, что говорит о небольшом роде, не размножившемся широко. Если вы носите эту фамилию, искать корни стоит в первую очередь в польских метриках и ревизских сказках бывших земель Речи Посполитой — там, где имена вроде Сульжицкий не были редкостью.